三角函数公式及练习题-ag凯发国际网址
三角函数公式：
商的关系：
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方关系：
sin^2(α) cos^2(α)=1
1 tan^2(α)=sec^2(α)
1 cot^2(α)=csc^2(α)
平常针对不同条件的常用的两个公式
sin^2(α) cos^2(α)=1
tan α *cot α=1
一个特殊公式
(sina sinθ)*(sina-sinθ)=sin(a θ)*sin(a-θ)
证明：(sina sinθ)*(sina-sinθ)=2 sin[(θ a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ a)/2] sin[(a-θ)/2]
=sin(a θ)*sin(a-θ)
坡度公式
我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度(也叫坡比), 用字母i表示,
即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式,如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作
a(叫做坡角),那么 i=h/l=tan a.
锐角三角函数公式
正弦： sin α=∠α的对边/∠α 的斜边
余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边
正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边
余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边
二倍角公式
正弦
sin2a=2sina·cosa
余弦
1.cos2a=cos^2(a)-sin^2(a)
2.cos2a=1-2sin^2(a)
3.cos2a=2cos^2(a)-1
即cos2a=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)
正切
tan2a=(2tana)/(1-tan^2(a))
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3 α)sin(π/3-α)
cos3α=4cosα·cos(π/3 α)cos(π/3-α)
tan3a = tan a · tan(π/3 a)· tan(π/3-a)
三倍角公式推导
sin(3a)
=sin(a 2a)
=sin2acosa cos2asina
=2sina(1-sin²a) (1-2sin²a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4-sin²a)
=4sina[(√3/2)²-sin²a]
=4sina(sin²60°-sin²a)
=4sina(sin60° sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60 a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]
=4sinasin(60° a)sin(60°-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos²a-3/4)
=4cosa[cos²a-(√3/2)^2]
=4cosa(cos²a-cos²30°)
=4cosa(cosa cos30°)(cosa-cos30°)
=4cosa*2cos[(a 30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a 30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a 30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90° (60° a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60° a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60° a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60° a)
现列出公式如下: sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/(1-tan^2(α)) cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.包括一些图像问题和函数问题中
三倍角公式
sin3α=3sinα-4sin^3(α)=4sinα·sin(π/3 α)sin(π/3-α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα=4cosα·cos(π/3 α)cos(π/3-α) tan3α=tan(α)*(-3 tan(α)^2)/(-1 3*tan(α)^2)=tan a · tan(π/3 a)· tan(π/3-a)
半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1 cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1 cosα) tan(α/2)=sinα/(1 cosα)=(1-cosα)/sinα
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1 tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1 tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
其他
sinα sin(α 2π/n) sin(α 2π*2/n) sin(α 2π*3/n) …… sin[α 2π*(n-1)/n]=0 cosα cos(α 2π/n) cos(α 2π*2/n) cos(α 2π*3/n) …… cos[α 2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α) sin^2(α-2π/3) sin^2(α 2π/3)=3/2 tanatanbtan(a b) tana tanb-tan(a b)=0
四倍角公式
sin4a=-4*(cosa*sina*(2*sina^2-1)) cos4a=1 (-8*cosa^2 8*cosa^4) tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2 tana^4)
五倍角公式
sin5a=16sina^5-20sina^3 5sina cos5a=16cosa^5-20cosa^3 5cosa tan5a=tana*(5-10*tana^2 tana^4)/(1-10*tana^2 5*tana^4)
六倍角公式
sin6a=2*(cosa*sina*(2*sina 1)*(2*sina-1)*(-3 4*sina^2)) cos6a=((-1 2*cosa^2)*(16*cosa^4-16*cosa^2 1)) tan6a=(-6*tana 20*tana^3-6*tana^5)/(-1 15*tana^2-15*tana^4 tana^6)
七倍角公式
sin7a=-(sina*(56*sina^2-112*sina^4-7 64*sina^6)) cos7a=(cosa*(56*cosa^2-112*cosa^4 64*cosa^6-7)) tan7a=tana*(-7 35*tana^2-21*tana^4 tana^6)/(-1 21*tana^2-35*tana^4 7*tana^6)
八倍角公式
sin8a=-8*(cosa*sina*(2*sina^2-1)*(-8*sina^2 8*sina^4 1)) cos8a=1 (160*cosa^4-256*cosa^6 128*cosa^8-32*cosa^2) tan8a=-8*tana*(-1 7*tana^2-7*tana^4 tana^6)/(1-28*tana^2 70*tana^4-28*tana^6 tana^8)
九倍角公式
sin9a=(sina*(-3 4*sina^2)*(64*sina^6-96*sina^4 36*sina^2-3)) cos9a=(cosa*(-3 4*cosa^2)*(64*cosa^6-96*cosa^4 36*cosa^2-3)) tan9a=tana*(9-84*tana^2 126*tana^4-36*tana^6 tana^8)/(1-36*tana^2 126*tana^4-84*tana^6 9*tana^8)
十倍角公式
sin10a=2*(cosa*sina*(4*sina^2 2*sina-1)*(4*sina^2-2*sina-1)*(-20*sina^2 5 16*sina^4)) cos10a=((-1 2*cosa^2)*(256*cosa^8-512*cosa^6 304*cosa^4-48*cosa^2 1)) tan10a=-2*tana*(5-60*tana^2 126*tana^4-60*tana^6 5*tana^8)/(-1 45*tana^2-210*tana^4 210*tana^6-45*tana^8 tana^10)
n倍角公式
根据棣美弗定理,(cosθ i sinθ)^n = cos(nθ) i sin(nθ) 为方便描述,令sinθ=s,cosθ=c 考虑n为正整数的情形： cos(nθ) i sin(nθ) = (c i s)^n = c(n,0)*c^n c(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 c(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 ... c(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 c(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 c(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 ... =>比较两边的实部与虚部 实部：cos(nθ)=c(n,0)*c^n c(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 c(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 ... i*(虚部)：i*sin(nθ)=c(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 c(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 c(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 ... 对所有的自然数n, 1. cos(nθ)： 公式中出现的s都是偶次方,而s^2=1-c^2(平方关系),因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示. 2. sin(nθ)： (1)当n是奇数时： 公式中出现的c都是偶次方,而c^2=1-s^2(平方关系),因此全部都可以改成以s(也就是sinθ)表示. (2)当n是偶数时： 公式中出现的c都是奇次方,而c^2=1-s^2(平方关系),因此即使再怎么换成s,都至少会剩c(也就是 cosθ)的一次方无法消掉. (例. c^3=c*c^2=c*(1-s^2),c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2)
半角公式
tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1 cosa);
cot(a/2)=sina/(1-cosa)=(1 cosa)/sina.
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1 cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1 cos(a))
和差化积
sinθ sinφ = 2 sin[(θ φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
cosθ cosφ = 2 cos[(θ φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ = -2 sin[(θ φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
tana tanb=sin(a b)/cosacosb=tan(a b)(1-tanatanb)
tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb=tan(a-b)(1 tanatanb)
两角和公式
tan(α β)=(tanα tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1 tanαtanβ)
cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβ
sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ
积化和差
sinαsinβ =-[cos(α β)-cos(α-β)] /2
cosαcosβ = [cos(α β) cos(α-β)]/2
sinαcosβ = [sin(α β) sin(α-β)]/2
cosαsinβ = [sin(α β)-sin(α-β)]/2
双曲函数
sh a = [e^a-e^(-a)]/2
ch a = [e^a e^(-a)]/2
th a = sin h(a)/cos h(a)
公式一：
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin(2kπ α)= sinα
cos(2kπ α)= cosα
tan(2kπ α)= tanα
cot(2kπ α)= cotα
公式二：
设α为任意角,π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin(π α)= -sinα
cos(π α)= -cosα
tan(π α)= tanα
cot(π α)= cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin(-α)= -sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
cot(-α)= -cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin(π-α)= sinα
cos(π-α)= -cosα
tan(π-α)= -tanα
cot(π-α)= -cotα
公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin(2π-α)= -sinα
cos(2π-α)= cosα
tan(2π-α)= -tanα
cot(2π-α)= -cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin(π/2 α)= cosα
cos(π/2 α)= -sinα
tan(π/2 α)= -cotα
cot(π/2 α)= -tanα
sin(π/2-α)= cosα
cos(π/2-α)= sinα
tan(π/2-α)= cotα
cot(π/2-α)= tanα
sin(3π/2 α)= -cosα
cos(3π/2 α)= sinα
tan(3π/2 α)= -cotα
cot(3π/2 α)= -tanα
sin(3π/2-α)= -cosα
cos(3π/2-α)= -sinα
tan(3π/2-α)= cotα
cot(3π/2-α)= tanα
(以上k∈z)
a·sin(ωt θ) b·sin(ωt φ) =
√{(a² b² 2abcos(θ-φ)} · sin{ ωt arcsin[ (a·sinθ b·sinφ) / √{a^2 b^2; 2abcos(θ-φ)} }
√表示根号,包括{……}中的内容
三角函数的诱导公式(六公式)
公式一 sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan (-α)=-tanα
公式二sin(π/2-α) = cosα
cos(π/2-α) = sinα
公式三 sin(π/2 α) = cosα
cos(π/2 α) = -sinα
公式四sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
公式五sin(π α) = -sinα
cos(π α) = -cosα
公式六tana= sina/cosa
tan(π/2 α)=-cotα
tan(π/2-α)=cotα
tan(π-α)=-tanα
tan(π α)=tanα
诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1 (tan(α/2))²]
cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1 (tan(α/2))²]
tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]
其它公式
(1) (sinα)^2 (cosα)^2=1(平方和公式)
(2)1 (tanα)^2=(secα)^2
(3)1 (cotα)^2=(cscα)^2
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可
(4)对于任意非直角三角形,总有
tana tanb tanc=tanatanbtanc
证：
a b=π-c
tan(a b)=tan(π-c)
(tana tanb)/(1-tanatanb)=(tanπ-tanc)/(1 tanπtanc)
整理可得
tana tanb tanc=tanatanbtanc
得证
同样可以得证,当x y z=nπ(n∈z)时,该关系式也成立
由tana tanb tanc=tanatanbtanc可得出以下结论
(5)cotacotb cotacotc cotbcotc=1
(6)cot(a/2) cot(b/2) cot(c/2)=cot(a/2)cot(b/2)cot(c/2)
(7)(cosa)^2; (cosb)^2 (cosc)^2=1-2cosacosbcosc
(8)(sina)^2 (sinb)^2 (sinc)^2=2 2cosacosbcosc
其他非重点三角函数
csc(a) = 1/sin(a)
sec(a) = 1/cos(a)
(seca)^2 (csca)^2=(seca)^2(csca)^2
幂级数展开式
sin x = x-x^3/3! x^5/5!-…… (-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)! ……. (-∞ cos x = 1-x^2/2! x^4/4!-…… (-1)k*(x^(2k))/(2k)! …… (-∞ arcsin x = x 1/2*x^3/3 1*3/(2*4)*x^5/5 ……(|x|<1)
arccos x = π - ( x 1/2*x^3/3 1*3/(2*4)*x^5/5 …… ) (|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 x^5/5 -……(x≤1)
无限公式
sinx=x(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2)(1-x^2/9π^2)……
cosx=(1-4x^2/π^2)(1-4x^2/9π^2)(1-4x^2/25π^2)……
tanx=8x[1/(π^2-4x^2) 1/(9π^2-4x^2) 1/(25π^2-4x^2) ……]
secx=4π[1/(π^2-4x^2)-1/(9π^2-4x^2) 1/(25π^2-4x^2)- ……]
(sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8……
(1/4)tanπ/4 (1/8)tanπ/8 (1/16)tanπ/16 ……=1/π
arctan x = x - x^3/3 x^5/5 -……(x≤1)
和自变量数列求和有关的公式
sinx sin2x sin3x …… sinnx=[sin(nx/2)sin((n 1)x/2)]/sin(x/2)
cosx cos2x cos3x …… cosnx=[cos((n 1)x/2sin(nx/2)]/sin(x/2)
tan((n 1)x/2)=(sinx sin2x sin3x …… sinnx)/(cosx cos2x cos3x …… cosnx)
sinx sin3x sin5x …… sin(2n-1)x=(sinnx)^2/sinx
cosx cos3x cos5x …… cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)