高中数学平面向量的数量积练习题及答案-ag凯发国际网址
高中数学平面向量的数量积练习题一、填空题
1.(2014·泰州质检)在abc中，若ab=1，ac=，| |=||，则=________.
[解析] 由平行四边形法则，| |=||=||，故a，b，c构成直角三角形的三个顶点，且a为直角，从而四边形abdc是矩形.
由||=2，abc=60°，
==.
[答案]
2.(2013·湖南高考改编)已知a，b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的最大值为________.
[解析] a，b是单位向量，|a|=|b|=1.
又a·b=0，a⊥b，|a b|=.
|c-a-b|2=c2-2c·(a b) 2a·b a2 b2=1.
c2-2c·(a b) 1=0.2c·(a b)=c2 1.
c2 1=2|c||a b|cos θ(θ是c与a b的夹角).
c2 1=2|c|cos θ≤2|c|.c2-2|c| 1≤0.
-1≤|c|≤ 1.|c|的最大值为 1.
[答案] 1
高中数学平面向量的数量积练习题二、解答题
3.设两向量e1，e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1 7e2与向量e1 te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
[解] 由已知得e=4，e=1，e1·e2=2×1×cos 60°=1.
(2te1 7e2)·(e1 te2)=2te (2t2 7)e1·e2 7te=2t2 15t 7.
欲使夹角为钝角，需2t2 15t 7<0，得-7
设2te1 7e2=λ(e1 te2)(λ<0)，
∴2t2=7.t=-，此时λ=-.
即t=-时，向量2te1 7e2与e1 te2的夹角为π.
当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是.
平面向量应用举例专项测试题
一、填空题
1.(2013·课标全国卷)已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则·=________.
[解析] 如图，以a为坐标原点，ab所在的直线为x轴，ad所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则a(0,0)，b(2,0)，d(0,2)，e(1,2)，
∴=(1,2)，=(-2,2)，
·=1×(-2) 2×2=2.
[答案] 2
2.已知向量=(3，-4)，=(6，-3)，=(m，m 1)，若，则实数m的值为________.
[解析] 依题意得，=(3,1)，
由，
得3(m 1)-m=0，m=-.
[答案] -
3.(2014·徐州调研)已知a=(1,2)，2a-b=(3,1)，则a·b=________.
[解析] a=(1,2)，2a-b=(3,1)，
b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3).
a·b=(1,2)·(-1,3)=-1 2×3=5.
[答案] 5
4.(2013·常州市高三教学期末调研测试)在平面直角坐标系xoy中，圆c：x2 y2=4分别交x轴正半轴及y轴正半轴于m，n两点，点p为圆c上任意一点，则·的最大值为________.
[解析] 根据题意得：m(2,0)，n(0,2).设p(2cos θ，2sin θ)，
则=(2-2cos θ，-2sin θ)，=(-2cos θ，2-2sin θ)，
所以·=-4cos θ 4cos2θ-4sin θ 4sin2θ
=4-4(sin θ cos θ)=4-4sin，
因为-1≤sin≤1，所以4-4≤·≤4 4，
所以·的最大值为4 4.
[答案] 4 4
5.(2014·宿迁调研)已知点a(-2,0)，b(0,0)，动点p(x，y)满足·=x2，则点p的轨迹方程是________.
[解析] =(-2-x，-y)，=(-x，-y)，则
·=(-2-x)(-x) (-y)2=x2，
y2=-2x.
[答案] y2=-2x
6.(2014·常州质检)已知直线x y=a与圆x2 y2=4交于a、b两点，且| |=|-|，其中o为原点，则正实数a的值为________.
[解析] 由| |=|-|，知，
|ab|=2，则得点o到ab的距离d=，
=，
解得a=2(a>0).
[答案] 2
7.(2014·南京、盐城二模)已知||=1，||=2，aob=，= ，则与的夹角大小为________.
[解析] 令=，=，因为||=1，||=2，所以||=||，由= = ，得四边形oa1cb1为菱形.因为菱形对角线平分所对角，因此aoc=60°.
[答案] 60°
8.如图443，在abc中，ab=ac，bc=2，=，=.若·=-，则·=________.
图443
[解析] 建立如图所示的直角坐标系，则·=·(1，-a)=-=-，解得a=2，所以=，=(-1，-2)，所以·=-.
[答案] -
二、解答题
9.(2014·苏北四市质检)已知向量a=(cos θ，sin θ)，b=(2，-1).
(1)若a⊥b，求的值;
(2)若|a-b|=2，θ，求sin的值.
[解] (1)由a⊥b可知，a·b=2cos θ-sin θ=0，所以sin θ=2cos θ，
所以==.
(2)由a-b=(cos θ-2，sin θ 1)，可得|a-b|===2，
即1-2cos θ sin θ=0，
又cos2θ sin2θ=1，且θ，
由可解得
所以sin=(sin θ cos θ)
==.
10.已知向量a=(cos x，sin x)，b=(sin 2x,1-cos 2x)，c=(0,1)，x(0，π).
(1)向量a，b是否共线?并说明理由;
(2)求函数f(x)=|b|-(a b)·c的最大值.
[解] (1)b=(sin 2x,1-cos 2x)=(2sin xcos x,2sin2 x)
=2sin x(cos x，sin x)=2sin x·a，且|a|=1，即a≠0.
a与b共线.
(2)f(x)=|b|-(a b)·c
=2sin x-(cos x sin 2x,1-cos 2x sin x)·(0,1)
=2sin x-1 cos 2x-sin x=sin x-1 1-2sin2x
=-2sin2x sin x=-22 .
当sin x=时，f(x)有最大值.
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